La teoria dei giochi studia situazioni di competizione e di cooperazione da una prospettiva matematica. Il primo teorema, apparentemente banale, è dimostrato da Zermelo nel 1912, applicando la teoria degli insiemi al gioco degli scacchi: date n scacchiere e n coppie di giocatori, se ogni giocatore è perfetto (ossia fa sempre le mosse migliori data la configurazione della scacchiera), allora tutti gli n risultati delle partite saranno uguali (ci sarà quindi una medesima configurazione finale della scacchiera). Nel 1928 von Neumann dimostra il “teorema del minimax”, fondamentale per la teoria dei giochi, che stabilisce che in certi giochi in cui la vincita di un giocatore è uguale e contraria alla perdita dell’altro giocatore e a informazione perfetta, ovvero nel caso in cui ogni giocatore conosca esattamente le strategie dell’altro giocatore, esiste una strategia che permette a entrambi i giocatori di minimizzare le loro massime perdite.
Secondo questo teorema, in un qualsiasi gioco a somma zero (ovvero un qualsiasi gioco nel quale la vittoria di un giocatore implica la sconfitta dell’altro) esiste una strategia per massimizzare il massimo guadagno possibile. Il concetto di minimax è alla base della teoria dei giochi elaborata dallo stesso Von Neumann e da Oscar Morgenstern e successivamente affinata da John Nash. Attraverso questo teorema è possibile dimostrare l’esistenza di punti di sella, ovvero di “avvallamenti” matematici che rappresentano un ottimo economico.
Il teorema del minimax fornisce condizioni sufficienti affinché la disuguaglianza max-min sia un’uguaglianza. Il teorema costituisce non solo il punto di inizio della teoria dei giochi, ma altresì un teorema della dualità per i problemi di programmazione lineare laddove la regione ammissibile è convessa e compatta (chiusa e limitata).
Basato sul teorema del punto fisso nella sua prima formulazione (Brouwer, 1910), il minimax è il
primo concetto di soluzione di un gioco non cooperativo, ma la sua applicabilità è limitata ai giochi a somma costante.
